extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

4 x ( Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. , ( xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+|  y f Por lo tanto, la existencia de un valor crtico en x=x0x=x0 no garantiza un extremo local en x=x0.x=x0. x ( 2022 OpenStax. y c Dichos puntos se llaman . y , Puesto que la funcin se anula en el origen, estudiamos el signo de la x = + x 2 , El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. y W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . Considere una funcin z=f(x,y)z=f(x,y) con dominio D2 .D2 . 2 x ( Echemos un vistazo. 2 2. x ) x 3 ) , x , 2. y y ) = = y 2 y y + El dominio de esta funcin es 0x500x50 y 0y250y25 como se muestra en el siguiente grfico. 2 , = x x necesaria pero no suficiente, esto es, de funciones de dos variables en el dominio de la funcin (que consideramos , , Es una condicin /BitsPerComponent 8 El dominio de una funcin de dos variables est formado por pares ordenados. 4 , Halle el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio y el rango de la funcin f(x,y)=369x2 9y2 .f(x,y)=369x2 9y2 . c Cuando se trabaja con una funcin de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. , z ; Las ideas principales de hallar puntos crticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo vlidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados. 15 cos y x 2, f + x x y y 13, f ) 4 Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy) y una variable dependiente (z). x x El paso 2 consiste en calcular las segundas derivadas parciales de g:g: Utilice la segunda derivada para hallar los extremos locales de la funcin. x x 2 ( /Filter /DCTDecode , , 120 2 Falta el origen. en el dominio definido por 0x2 0x2 y 1y3.1y3. 6` :lUZ*`}9 bD,mXBZC="[M~qx Op , ( + ) + endobj + = 2 ( + Supongamos que deseamos graficar la funcin z=(x,y).z=(x,y). /Width 1091 endobj , Para determinar el ltimo punto crtico necesitamos saber el signo de. x + z donde zz se mide en miles de dlares. x z + y y 0 y + ( Halle los valores de x y de y para maximizar los ingresos totales. f 4, w Cuando se trabaja con una funcin de una variable, la definicin de un extremo local implica hallar un intervalo alrededor del punto crtico tal que el valor de la funcin sea mayor o menor que todos los dems valores de la funcin en ese intervalo. = 2 36 = y , c w 2 2 + Expresar el volumen V de ese depsito en funcin del radio r del cilindro y de su altura h. - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: z sen 2 x y1 x y cos x -ey z c)z x 2sen ex y y 2sen 22 xy - Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: x 2 y2 9 f(x, y) = ln( xy 6) b) g(x,y) = . 7 2 , 120 2 , z x ( , , 4 x = ) 2 , ) cp+_sH{2@i4d7L.o?AOCc0Q[1{"$JlMl"$[1ePhxm(*J|bi-8[- qUN%A+se_Si''8Up,oyN"$woNW^"3D[z Dos de estos ejemplos son. en los intervalos. ( x y y , x , 2 y , x Por tanto, se trata de un punto de silla. y ) Las funciones de dos variables pueden producir algunas superficies de aspecto llamativo. = ; + herramienta de citas como, Autores: Gilbert Strang, Edwin Jed Herman. y ) , Esto da. z ( y z y , y 2 2 y x 2 x y Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos crticos como los valores de la funcin cuando la derivada es igual a cero o no existe. ) Ejercicio 11 Calcular y representar las curvas de nivel de la funcin z=jxj+y , + x y x (Extremos de funciones de dos variables) Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. f + 2 Unidad 2: Derivadas de funciones multivariables. , 2 El objetivo principal para determinar los puntos crticos es localizar los mximos y mnimos relativos, como en el clculo de una sola variable. ( y x Como y = 0 , de la primera ecuacin tenemos, Por tanto, el Hessiano en dichos puntos es. abierto). y endobj , 2 ( ^_AG=.gY[">{ b@w^#?@$JNZPC/u\@?^qT%3T|-{k*s!5+$Hp?t1Ae aJ?B5 lxmX8VyAR"~5,yQhK("(1U1i8YfhFY(8"A? 9 x x 2 ( ( funcin en un entorno de ste, por ejemplo, en los ejes. w x , = 2 x f 2 + y Teorema 1 | Demostracin 1 | Ejemplo 1 | Ejemplo 2 | Ejemplo 3 | Observaciones |. x La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. 1, f x 2, z = 7 = Sustituir estos valores en la ecuacin y=32 x2 y=32 x2 da lugar a los puntos crticos (1,52 )(1,52 ) y (3,32 ). , Regla de la segunda derivada. Es decir, si es un y correspondiente a c=2 ,c=2 , y describa la superficie, si es posible. Desde el origen, la funcin crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. 2 ( 3 x ) x + 2 ) + x , 25 Halle el punto de la superficie f(x,y)=x2 +y2 +10f(x,y)=x2 +y2 +10 ms cercano al plano x+2 yz=0.x+2 yz=0. 4 , 2 y z Copyright 2023 StudeerSnel B.V., Keizersgracht 424, 1016 GC Amsterdam, KVK: 56829787, BTW: NL852321363B01, aire caliente que produzca su sistema de calefaccin ascender, lo que supondr una, prdida de calor por unidad de techo igual a, la prdida de calor a travs de las 4 paredes, en el suelo, determinar las dimensiones del almacn que. y Primero establezca x=4x=4 en la ecuacin z=senxcosy:z=senxcosy: Esto describe un grfico del coseno en el plano x=4.x=4. , , = + Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. 2 + Halla el volumen mximo de una caja rectangular con tres caras en los planos de coordenadas y un vrtice en el primer octante del plano x+y+z=1.x+y+z=1. y 2 x y , = f Sin embargo, es til echar un breve vistazo a las funciones de ms de dos variables. ( = 1. 30 y z Un mximo ( mnimo) (a) Un mapa topogrfico de la Torre del Diablo, Wyoming. f . = 4 ) Extremos Libres de funciones de varias variables: | Definicin 1 | Definicin 2 |. /Type /XObject 3 2 + 2 Halle la ecuacin de la superficie de nivel de la funcin. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University. 4 + , = Estrategia para la resolucin de problemas: Usar la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables, Hallar los valores extremos de una funcin de dos variables, Estrategia para la resolucin de problemas: Calcular valores mximos y mnimos absolutos. OpenStax forma parte de Rice University, una organizacin sin fines de lucro 501 (c) (3). = Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). 2 2, f = x x Cree un grfico de cada una de las siguientes funciones: Una funcin de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por. 22 0 obj << , ( y x Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. , 16 0 obj y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. , 3 y z , Al anularse en el origen y ser creciente y decreciente a su izquierda y a su derecha, respectivamente, deducimos que la funcin es negativa (en un entorno del origen) sobre el eje OX. ((DQ@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@Q@]\Gim,HB d~f'Sj.~# S5 iAg?s.?NSQ^EPEP;'5KI(TE , ( y En Mximos y mnimos demostramos que los extremos de las funciones de una variable se dan en los puntos crticos. , 2 29 0 obj << x f = x 5 2 8 Trazar varias trazas o curvas de nivel de una funcin de dos variables. ) x En las dos primeras ecuaciones, la funcin desconocida u tiene tres variables independientes, t, x, y y, y c es una constante arbitraria. y x 10 5 Cmo hallar los extremos absolutos de funciones de varias variables sobre un conjunto compacto. , 1 9 4 Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, pueden utilizar un mapa topogrfico que muestre la inclinacin de los senderos. La Figura 4.8 es un grfico de las curvas de nivel de esta funcin correspondiente a c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. = y x x x = z ) 2 2 ( Una traza vertical de la funcin puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuacin f(a,y)=zf(a,y)=z para una constante dada x=ax=a o f(x,b)=zf(x,b)=z para una constante dada y=b.y=b. ( + La funcin ff tiene un mnimo local en (x0,y0)(x0,y0) si. x y 2 = 1 0 obj 10 Halle el extremo absoluto de la funcin dada en el conjunto cerrado y delimitado indicado R.R. x 3 y ) , Dada la funcin f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 ,f(x,y)=8+8x4y4x2 y2 , halle la curva de nivel correspondiente a c=0.c=0. 16 Desea citar, compartir o modificar este libro? ) Plano tangente 04-3. 3 x y ( , , y x , Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables, Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/1-introduccion, https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/4-7-problemas-con-maximos-minimos, Creative Commons Attribution 4.0 International License, Determine los valores mximos y mnimos de, Utilizando la estrategia de resolucin de problemas, el paso. Calculamos las derivadas parciales de \(f\): Los puntos crticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. = y, f , ( 3 x x ( = = y absoluto es un valor para el que la funcin toma el mayor ( menor) 49 ( , 2 En particular, si alguno de los extremos no se encuentra en el borde de D,D, entonces se encuentra en un punto interior de D.D. IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). ( ) = 1 Ahora estudiamos el signo de la funcin en las distintas regiones: Tenemos signos positivos y negativos en cualquier entorno del origen, se trata, pues de un punto de silla. Entonces ff alcanzar el valor mximo absoluto y el valor mnimo absoluto, que son, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos encontrados entre los siguientes: La demostracin de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. 2 2 Al graficar una funcin y = f(x) de una variable, utilizamos el plano cartesiano. , ( La prueba de la segunda derivada para una funcin de una variable proporciona un mtodo para determinar si ocurre un extremo en un punto crtico de una funcin. x Definicin de extremo. ; x , Solucin . x , ln , Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. 2 4 y ) f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1)f(x,y)=14x2 y2 ,P(0,1) grandes. = x = y = y + 10 Verifique el grfico mediante tecnologa. Las variables independientes x y y se consideran variables espaciales, y la variable t representa el tiempo. , ) Una empresa que fabrica dos tipos de calzado deportivo: las zapatillas de correr y las zapatillas de crossfit. = y = 2 Podemos graficar cualquier par ordenado (x, y) en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado (x, y) asociado a l. f , Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la funcin corresponde al mximo global y el menor valor de la funcin corresponde al mnimo absoluto. y 16 + + y y f (3,2 ). ( w !1AQaq"2B #3Rbr = Para simplificar, supongamos que k=1k=1 y hallemos las ecuaciones de las superficies de nivel para E=10yE=100.E=10yE=100. x 3 4 9, f ) x La temperatura TT en grados Celsius en un punto P(x,y)P(x,y) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. 4 , g ; = La principal diferencia es que, en vez de aplicar valores de una variable a valores de otra variable, asignamos pares ordenados de variables a otra variable. , 2 y << /S /GoTo /D [22 0 R /Fit] >> Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. 2 4 = + 2 , y Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 2 Describa las curvas de nivel para varios valores de cc por z=x2 +y2 2 x2 y.z=x2 +y2 2 x2 y. Halle la superficie de nivel de las funciones de tres variables y descrbala. 2 ( f y = y 2 y = Es decir el rea depende del valor del radio. y = ) + x 2 Al extender este resultado a una funcin de dos variables, surge un problema relacionado con el hecho de que hay, de hecho, cuatro derivadas parciales de segundo orden diferentes, aunque la igualdad de las parciales mixtas lo reduce a tres. La palabra funcinse usa con frecuencia para indicar una relacin o dependencia de una cantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos: a) El rea de un crculo es una funcin de su radio. 4 Salvo que se indique lo contrario, los libros de texto de este sitio 2 y + Este punto no es del dominio de f.f. ) + 2 y Sin embargo, el que ff no tiene un valor extremo en x=0.x=0. ) ) , x c Derivadas parciales de funciones con valores vectoriales Derivar funciones . Ejercicio resuelto, paso a paso, utilizando el mtodo de los . = f x 4 2 Consulte el problema anterior. + f e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. + 2 , xXKs6W(`FO-k;,Os%eCi-N3hHp?~]>IM:oj&&"`pP,}\N2YL,_{Lv,[CrIf}@aJQ3H%3Dj y 1 El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . z Para aplicar la prueba de la segunda derivada, es necesario que primero hallemos los puntos crticos de la funcin. g Introduccin - Funciones de varias variables - Curvas de nivel 02. = = 2, z = 3 En la siguiente figura aparece un ejemplo de punto de silla. x y Reconocer una funcin de tres o ms variables e identificar sus superficies de nivel. 3 y e ; y Estas esquinas estn situadas en (0,0),(50,0),(50,25)y(0,25):(0,0),(50,0),(50,25)y(0,25): El valor crtico mximo es 648,648, que se produce en (21,3).(21,3). x y y 4 En primer lugar, elegimos un nmero cualquiera en este intervalo cerrado, por ejemplo, c=2 .c=2 . y No hay valores ni combinaciones de, Esta funcin tambin contiene la expresin. 4 x y f c y ) El grfico de la funcin dada de dos variables es tambin un paraboloide. 4 c Cuando c=4,c=4, la curva de nivel es el punto (1,2 ). y Utilizando la estrategia de resolucin de problemas, el paso 11 consiste en hallar los puntos crticos de ff en su dominio. ( x + + z ; En la ecuacin de Laplace, la funcin desconocida u tiene dos variables independientes x y y. 2 Recta Normal 05. = + 2 Dada una funcin f(x,y,z)f(x,y,z) y un nmero cc en el rango de f,f, una superficie de nivel de una funcin de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c. w 4. 2 ( 1. << /S /GoTo /D (subsection.5.4) >> ( = c (Funciones de varias variables) Utilice un CAS para graficar la funcin. 2 2 f 3 x 2 Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. y f y , y 0/2100 puntos de dominio. x 5, f ln Por lo tanto, primero calculamos fx(x,y)fx(x,y) y fy(x,y),fy(x,y), y luego las igualamos a cero: Si se igualan a cero se obtiene el sistema de ecuaciones. 2 8, f , ) ( x y Dibuje un grfico de esta funcin. 2 + x ) ) x ( y g Utilizando los valores de cc entre 0y30y3 da lugar a otros crculos tambin centrados en el origen. ) 1 x ( 3 Para aplicar la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales, siga los siguientes pasos: Halle los puntos crticos de cada una de las siguientes funciones y utilice la prueba de la segunda derivada para hallar los extremos locales: Por lo tanto, x=1x=1 o x=3.x=3. Para entender mejor el concepto de trazar un conjunto de triples ordenadas para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de coordenadas (x,y)(x,y) en plano. x A continuacin, definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Si establecemos que g(t)=0g(t)=0 da lugar al punto crtico t=24,t=24, que corresponde al punto (24,0)(24,0) en el dominio de f.f. x = c x 3. ) + c Los ingresos totales de xx unidades de zapatillas para correr y yy unidades de entrenadores cruzados viene dada por R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y,R(x,y)=5x2 8y2 2 xy+42x+102y, donde xx como yy estn en miles de unidades. 2 Podemos repetir la misma derivacin para valores de cc menos de 4.4. + Halle el punto en el plano 2 xy+2 z=162 xy+2 z=16 que est ms cerca del origen. Extremos relativos o locales. , puntos 2 , y Calcule W(2 ,1),W(2 ,1), W(3,6).W(3,6). x x , Lo mismo ocurre con las funciones de ms de una variable, como se indica en el siguiente teorema. , x y 6 x + = ( f = Llamamos a las derivadas parciales de \(f\) en \(a\) del siguiente modo: Y definimos el Hessiano de \(f\) en \(a\) como, Si \(H > 0\) y \(A<0\), entonces \(f\) tiene un mximo local en \(a\), Si \(H > 0\) y \(A>0\), entonces \(f\) tiene un mnimo local en \(a\), Si \(H < 0\), entonces \(f\) tiene un punto de silla en \(a\). ) ) e x 2 9 y x ( >> 2 + = 2, h Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License Lmite doble - Continuidad - Derivadas parciales - Derivadas sucesivas 03. y Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto: Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mnimo relativo. + x x L3L3 es el segmento de lnea que une (0,25)y(50,25),(0,25)y(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=t,y(t)=25x(t)=t,y(t)=25 por 0t50.0t50. ln Halle las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de cartn. how many grandchildren does wayne gretzky have,

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